图像法完美解决“分段函数”零点问题

南昌大学附属中学(330047)温伟明函数是中学数学的重要内容，其中分段函数是一类特殊函数。它不仅体现了一般函数所具备的性质、方法、思想，更能有效地考查学生的阅读理解、分类讨论、发散思维、数形结合等多种能力，为学生更加灵活地运用数学知识去分析解决问题留下了一个可供探索、益于创新的思维空间。正是基于这一点，它在高考试题中由一个不起眼的考点迅速成为热点。分析近几年的高考试题，分段函数不再拘于只对函数解析式的理解，会求解简单的函数值，而开始从图像单调性、对称性、最值、零点等多方面，多种形式考查学生的综合能力。而零点问题在2015年的高考试卷中尤为突出，下面将通过其中两个具体实例，来研究与探讨图像法在分段函数零点问题中的运用。例1（2015年北京卷）设函数f(x)=2x－a,x 1,4(x－a)(x－2a),x≥1。①若a=1，则f(x)的最小值为；②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是。分析：①若a=1，则分段函数各段范围和解析式已经确定，可以分别求出各段的值域，进而求出其最小值；②若f(x)恰有2个零点，则函数与x轴有两个交点，可利用其函数图像分别对两段上的零点进行分析，由于a不确定，所以需要对a进行分类讨论。解析：①当a=1时，函数f(x)=2x－1,x 1,4(x－1)(x－2),x≥1。当x 1时，－1 2x－1 1；当x≥1时，4(x－1)(x－2)≥－1,所以f(x)最小值为－1。②（1）当a=0时，f(x)=2x,x 1,4x2,x≥1。由图像易知函数与x轴没有交点，故舍去；（2）当a 0时，令h(x)=2x－a(x 1)，∴0 h(x) 2－a，令g(x)=4(x－a)(x－2a)(x≥1)，顶点坐标(32a,－a2)，与x轴交于(a,0),(2a,0)，可以画出其大致图像，如图1，发现函数与x轴也无交点，故舍去；图1（3）当a 0时，令h(x)=2x－a(x 1)，∴－a h(x) 2－a，当2－a 0时，h(x)与x轴有1个交点，当2－a≤0时，h(x)与x轴无交点；令g(x)=4(x－a)(x－2a)(x≥1)，与x轴交于(a,0),(2a,0)，当2a 1时，g(x)与x轴无交点，当a 1≤2a时，g(x)与x轴有1个交点，当a≥1时，g(x)与x轴有2个交点。所以，要使函数f(x)与x轴有2交点，如图所示两种情况：图2图3ⅰ)h(x)与x轴有1交点时，0 a 2；当g(x)与x轴有1交点时，12≤a ⅱ)当a≥2，h(x)与x轴无交点；g(x)与x轴有2交点。综上所述，12≤a 1或a≥2。赏析：本题是分段函数的零点问题，参数出现在各段解析式中，需要分别对其讨论零点个数，即讨论与x轴的交点，而利用图像法能够很清晰直观的将各种情形展示出来。例2（2015年天津卷）已知函数f(x)=2－|x|,x≤2,(x－2)2,x 2,函数g(x)=b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y=f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是（）。（A）74,+∞（B）－∞,74（C）0,74（D）74,2分析：由于f(x)中带有|x|，所以可将其分成三段，求y=f(x)－g(x)的零点，如果直接分析它与x轴的交点会比较麻烦，所以我们可以换一个思路，去分析函数f(x)与函数g(x)的交点，通过函数图像找到f(x)与g(x)恰有4个交点时，求出满足的条件b，或是先得到函数y=f(x)－g(x)的函数表达式，再通过其图像，求出满足的条件b。解法一：由题意易得，函数f(x)=2+x,x≤0,2－x,0 x≤2,(x－2)2,x 2,令函数h(x)=－f(2－x),f(x)关于y轴对称f(-x)向右平移2个单位f(2-x)关于x轴对称h(x)=-f(2-x)。如图4，f(x)与h(x)的函数图像，g(x)可以看成h(x)向上平移b个单位，当b=2时，中间段函数图像重合，有无数个公共点，不合题意;又当b 2图4时，图像不可能有4个交点，所以0 b 2。当h(x)向上平移至第一段图像与f(x)相切时，由对称性易知，第三段相应图像也相切，此时f(x)与h(x)有两个交点（均为切点），如图5。设此时g(x)=h(x)+b0，右边（第三段）图像y=(x－2)2与y=x－4+b0的切点为(x0,图5y0)，由直线与曲线相切，得y′=2(x0－2)=1,y0=(x0－2)2=x0－4+b，解得x0=52,b0=74。所以，当f(x)与g(x)恰有4个交点时，74 b0 2，故选D。解法二：函数f(x)=2+x,x≤0,2－x,0 x≤2,(x－2)2,x 2,令函数f(2－x)=x2,x≤0,x,0 x≤2,4－x,x 2,f(x)与f(2－x)各段区间都相同，所以f(x)+f(2－x)=x2+x+2,x≤0,2,0 x≤2,x2－5x+8,x 2,令y=f(x)－g(x)=f(x)+f(2－x)－b=0，即f(x)+f(2－x)=b有四个根。如图6得到y1=f(x)+f(2－x),y2=b的函数图像。由图可知A(－12,74),B(52,74)，当y1=图6f(x)+f(2－x)与y2=b有4个交点时，74 b 2。赏析：本题考查分段函数的零点问题比较综合，要求比较高。零点问题可以转化为两函数的交点，需要对分段函数的解析式及图像变化比较熟悉，在此基础上，再利用数形结合，求出满足的条件b。在解决分段函数的零点问题时，由于分段函数本身蕴含了分类讨论，若在其解析式或是区间上又带有参数，很容易让人搞混淆，不知如何下手，而如果能用“图像法”，将其中各种情况清晰呈现，定能“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。
2022-04-19 17:52:10