概率方法用于不等式证明中的应用

文/阿不拉江·吾买尔【摘 要】本文通过运用概率方法对数学不等式的证明，得出了概率方法在解决某些数学问题时能够更简洁，更直观的观点。教育期刊网 http://www.jyqkw.com关键词 概率;数学;不等式证明在数学的学习过程中，不等式的证明占据着非常大的比重。能够证明不等式的方法有很多，可以用初等的普通的数学运算方法证明，也可以用高等数学的方法来证明，有时候还需要采用不同方法综合运用的方式来证明。本文通过概率方法与一般方法对几个例题的证明，可以看出，概率在证明某些数学不等式时相较于其它方法，更为直接、简洁，容易让人明了。例（1）：求证：若a，b，c，d都是大于等于0小于等于1的数，则有(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd. 证法一：因为(a+b-ab)(c+d-cd)=ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd=ac+bd-abcd+ad(1-c)(1-b)+bc(1-a)(1-d)≥ac+bd-abcd。由此可证得结论(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd证法二：通过对不等式的观察，可以看出其中包含概率的一些规律和运算，因此可以构造以下概率事件，假设x，y，z，w是概率分别为a,b,c,d的相互独立的事件，那么通过概率中事件之间的关系和运算可以得出：(x∪y)(z∪w)=xz∪xw∪yz∪yw?劢xz∪yw。又P(xz∪yw)≤P((x∪y)(z∪w)).又因为x,y,z,w是相互独立的事件，得P(x∪y)=P(x)+P(y)-P(xy)=a+b-ab.。同理可证：P(z∪w)=c+d-cd P(xz∪yz)=ac+bd-abcd.又因为： P((x∪y)(z∪w))=P(x∪y)P(z∪w)。得出结论： ac+bd-abcd≤(a+b-ab)(c+d-cd）。又因为1+sinxcosx-(sinx+cosx)=1-cosα+sinα(cosα-1)=(1-cosx)(1-sinx)≥0所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.(1)证法二：由方法一中的（1）可以看出，要想证明结论成立，只需要证明：cosx+sinx-sinxcosx≤1。首选，需要建一个概率模型，假设事件a,b相互间是独立的，并且事件a的发生概率是cosx，事件b的发生概率是sinx，即P(a)=cosx，P(b)=sinx。P(a∪b)=P(a)+P(b)-P(ab)。因为a,b事件相互独立，可以得出：P(ab)=P(a)P(b)又因为P(a∪b)≤1,所以P(a)+P(b)-P(ab)=P(a)+P(b)-P(a)P(b)≤1.即cosx+sinx-sinxcosx≤1由此可证结论。例（3）：d为正数a,b,c，d中最大的,求证:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a) d2 证明：设A,B,C是三个相互独立的事件,令P(A)=ad,P(B)=bd,p(C)=cd显然0≤P(A)=ad≤1,0≤P(B)=bd≤1,0≤p(C)=cd≤1. 根据概率加法公式及事件的独立性:P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3 (a/d-ab/d2)+(bd-bc/d2)+(c/d-ac/d2) =a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)又因为：0≤P(A+B+C)≤1,所以：a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d) 1由此可得出结论：a(d-b)+b(d-c)+c(d-a) d2从以上例子中可以看出，在论证不等式的过程中不仅可以采用普通运算的方法，通过概率方法的应用，能够使得解体的思路更加的清晰明朗，将抽象的数学问题变得更加具体化，更加立体化，更具有创造性，进而激发学生的创新能力。但是概率方式用于不等式的证明也存在一定的局限性，因为此种证明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教学过程中，可以有选择性的将概率思想方法融入到对于不等式的证明之中，进而拓宽学生的解题思路，提高他们的解题能力。 教育期刊网 http://www.jyqkw.com参考文献[1]陆晓恒.概率方法在数学证明问题中的应用[J].高等数学研究,2003,6(3):43-44.[2]邓永录.应用概率及其理论基础[M].北京:清华大学出版社,2005.（作者单位：喀什地区体育运动学校）
2022-04-19 16:43:56