抛物线共点切线的一个性质所引出的几个结论

湖北省宜都市一中(443300)刘宜兵 段俐荣过抛物线外一点可向抛物线作二切线，经研究发现，这二切线有如下一个优美性质。定理点Q为抛物线y2=2px(p 0)外一点,过点Q向抛物线作二切线QA,QB,(其中A,B为切点),F为抛物线的焦点，则∠BQF=∠QAF。(如图1)图1证明:设切线QA分别交x轴,y轴于E,M。切线QB分别交x轴,y轴于G,N。设A(a22p,a),则切线AE方程为ay=px+a22,可得E(－a22p,0),M(0,a2),易知M为AE的中点。又MF→=p2,－a2,EA→=(a2p,a),故MF→·EA→=0。故MF⊥EA,从而FM为线段AE的中垂线,此时有∠MEF=∠MAF。同理FN为GB的中垂线。因∠QMF=∠QNF=90°,从而Q,M,F,N四点共圆。故∠NQF=∠NMF。因MO⊥EF,故∠MEF=∠OMF。以上可得∠BQF=∠NMF=∠AEF=∠QAF。即∠BQF=∠QAF。下面说明以上结论的几个应用:由以上证明不难得出∠AQF=∠QBF,从而得出ΔQFB～ΔAFQ,故∠QFA=∠QFB且QF2=QA·QB。从而可得出推论1点Q为抛物线y2=2px(p 0)外一点,过点Q向抛物线作二切线QA,QB(其中A,B为切点),F为抛物线的焦点,则∠QFA=∠QFB且QF2=QA·QB(如图2)。图2说明:此定理为江西省2005年高考试题。由此结论我们还可得抛物线外切三角形的一个性质。推论2分别以抛物线y2=2px(p 0)上三个点A,B,C为切点的三条切线交于E,Q,D,若F为抛物线的焦点,则E,Q,D,F四点共圆。(如图3)图3证明:过抛物线外一点Q向抛物线作二切线QA,QB。由定理结论可知∠DQF=∠QAF。同样,由抛物线外一点E向抛物线引二切线EC,EA。由定理结论可知∠CEF=∠EAF,故∠DQF=∠DEF，从而E,Q,D,F四点共圆。
2022-04-19 17:52:42