给学生需要的数学概念课堂——三角函数周期性的教学实录与反思

江苏省海门中学（226100）何振华2014年11月26—27日，我校成功举办了省“教学新时空·名校课程”现场推进会暨江苏省海门中学第30届教学“百花奖”全国展示活动（江苏教育网进行了网络直播）。笔者有幸执教《三角函数的周期性》一课。三角函数的周期性作为三角函数的图像与性质的起始课，概念性强，本节课是笔者基于“给学生需要的数学概念课堂”的需求进行的一次实践和尝试。一、课堂实录1.创设情境同学们，作为一个海门人，我们身处长江边，你有没有在长江边看过日出，今天老师请大家看一段长江边日出的视频。下面是两个同学看完视频后的对话甲：日出美吗？乙：美。甲：那我们去长江边看日出去？乙：明天不行，我要上学。甲：后天？乙：不行，我要上学。甲：没关系，日出天天可以看，等你放假后一起去？乙：好的。师：从两同学的对话中，你认为日出这一自然现象具有什么规律？生：过了一定时间现象重复出现（定期重现），可用成语“周而复始”。师：自然界和生活有许多“周而复始”的现象，我们的课前音乐《花心》的歌词中也有类似周而复始现象的描述，你发现了吗？生：“春去春回来”“花谢花会再开”“黑夜又白昼”“潮起又潮落”。师：很好，那我们最近研究的三角函数中有没有这种“周而复始”的现象？生：有，三角函数线。2.概念生成那我们一起研究一下三角函数线的变化，以正弦线为例，利用几何画板演示正弦线的变化(如图1)。师：正弦线的变化有什么特征？图1每转过一圈，函数值就重复出现。师：很好，如果用代数式表示？生：sinx=sin(x+2π)=sin(x+4π)=。。。师：上述等式成立与x的取值有关系吗？生：没有。师：如果我们记f(x)=sinx，那么上式就可以表示成f(x)=f(x+2π)=f(x+4π)=。。。那么自变量x的取值范围是什么？生：任意角。师：很好，那么你能用语言表述一下吗？生：自变量每增加2π，函数值不断重复出现。师：非常棒，这是不是和我们刚才研究的“日出”的周而复始现象很像，那么是不是只有正弦函数具有这一特征？如果还有其他函数，那么它增加的量是多少？生：余弦函数也有这一特征，也是自变量每增加2π，函数值不断重复出现。师：还有么？生：正切函数也有这一特征，不过增量为π。师：三角函数具有的这种自变量每增加一定的量，函数值重复出现的性质称为三角函数的周期性。板书课题：三角函数的周期性。师：如果有一个函数，自变量每增加1，函数值就重复出现，你认为它是否具有周期性？生：有周期性。师：也就是说，定量并不一定是“2π,π”，那么对于这些一般函数的周期性我们如何用数学符号语言刻画？沉默师：大家可以讨论一下？学生讨论，约2分钟后。师：你们有结论么？生：我们组的结论是“对于函数f(x)，如果存在常数T，使f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，常数T叫做周期函数的周期”。师：很好，对这一小组的结论，大伙还有没有补充？生：我们认为，应当是非零常数T。师：理由？生：若T为0，则自变量就没有增量。师：非常好。还有么？生：自变量x应为定义域内的任意值。师：太棒了，这样我们就得到了周期函数的定义：“一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期”。3.概念理解师：请看问题问题1填空：对于函数f(x)，如果定义域内的每一个x值，都满足，那么函数f(x)为函数。生：我认为可以填 “f(x+T)=f(x)（T≠0）”；周期。师：很好。还有其他答案么？沉默，突然某学生提出。生：我认为，根据以前学的奇偶性的定义，可以填“f(－x)=f(x)”；偶。师：很好，函数的奇偶性和函数的周期性有些条件完全一样，我们可以类比学习。研究奇偶性时，我们要求函数的定义域关于原点对称，你知道为什么吗？生：这是因为要使得x在定义域的同时，-x也要在定义域内。师：非常好。那么你认为周期函数对定义域有什么要求？生：x在定义域的同时，x+T也要在定义域内。师：正确。请看下一问题：问题2函数y=sinx(0≤x≤10π)是不是周期函数？生：不是，当x=10π时，10π+2π不在定义域内。师：很好。看下一问题：问题3判断下列说法是否正确，并简述理由。（1）x=π3时，sin(x+2π3)≠sinx，则2π3一定不是函数y=sinx的周期；（2）x=7π6时，sin(x+2π3)=sinx，则2π3一定是函数y=sinx的周期。生：第一个正确，第二个不正确。判定一个常数不是周期函数的周期，举一个反例即可。判定一个常数是周期函数的周期，要使定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)。师：回答的很好，理由总结的不错。这两个问题主要是考察大家对定义中每一个值的理解。再看下一问题：问题4判断下列函数是否为周期函数？（1）f(x)=cos2x;（2）f(x)=x;（3）f(x)=1。生：第一个是周期函数，2π是它的周期；师：f(x)=x是不是周期函数？生：我找不到它的周期，不知道是不是？师：f(x)=x的图像是递增的一直线，自变量增加一定量，函数值也在增加。所以不是周期函数。由此可见：单调函数不是周期函数。生：f(x)=1应该是的，但我发现有很多数都可以作为它的周期。师：能不能说的更具体点？生：所有非零常数都是它的周期。师：很不错，常数函数是周期函数，且周期为非零常数。你认为正弦函数y=sinx的周期为多少？生：2π,4π,。。。都是它的周期，应该是k·2π(k∈Z,k≠0)。师：余弦函数y=cosx呢？正切函数呢？周期函数的周期是否唯一？生：余弦函数周期k·2π(k∈Z,k≠0)，正切函数为kπ(k∈Z,k≠0)。周期函数的周期不唯一。师：已知定义在R上周期函数f(x)的周期为T，则2T是f(x)的一个周期吗？你能推广么？生：是，f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)， kT(k∈Z,k≠0)也是它的周期。师：由于周期函数有无数个周期，对我们的进一步研究带来不便，你能否选择一个最具有代表性的来表述？生：正周期，最小的。师：那我们统一一下，规定：“最小正周期：对于周期函数f(x)，如果在它的所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数f(x)的最小正周期”。师：你知道：正弦函数的最小正周期为多少？余弦函数呢？ 正切函数呢？生：2π，2π，π。师：周期函数的最小正周期一定存在么？理由？沉默师：那大家讨论一下。生：我们组认为，最小正周期不一定存在，如y=sinx(x≤0)没有正周期，当然也就没有最小正周期。师：很好，这是从有没有正周期的角度进行否定。那如果一个周期函数有正周期，是不是有最小正周期？生：我们认为，还是不一定存在，反例是常数函数f(x)=1，就没有最小正周期。师：非常棒。周期函数的最小正周期不一定存在，我们的定义“如果……，那么……”从现在开始，我们研究的周期没有特别说明就是指函数的最小正周期。4.概念运用师：请看问题：求函数f(x)=cos2x的周期。师：你认为我们可以用什么知识求函数周期？生：周期函数的定义。板演：解：设f(x)的周期为T，则f(x+T)=f(x)，即cos2(x+T)=cos2x对任意实数x都成立。cos(2x+2T)=cos2x对任意实数x都成立。师：下面怎么办？还能用什么知识？生：y=cosx最小正周期为2π这一结论。师：怎么用？生：把2x看成一个整体，令u=2x，cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立。又y=cosu的周期为2π，所以使得cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立的最小正值为2π,所以2T=2π,即T=π。所以函数f(x)=cos2x的周期为π。师：利用了周期函数的定义，结合y=cosx最小正周期为2π这一结论，采用整体的观点研究，非常棒。师：你能快速的求出下列函数的周期么？（1）f(x)=2cos2x;（2）f(x)=cos(2x+π3)。生：它们的周期为π。师：你认为函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω 0)的周期和哪些元素有关？生：只和ω有关，和A,φ都没有关系。师：不错，那函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω 0)的周期是。生：2πω。师：那函数f(x)=Asin(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω 0)的周期是多少？生：也是2πω。师：那如果函数f(x)=Asin(ωx+φ)的ω 0呢？生：2π－ω。师：函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω≠0)的周期为2π|ω|。这可以作为公式用来求正余弦函数的周期。师：我们再拓展一下：若函数y=f(x)的周期为T，则函数y=Af(ωx+φ)（A≠0,ω≠0）的周期为多少？生：T|ω|。师：求三角函数的周期有哪些方法？生：利用定义求解，也可以用公式求解。5.概念拓展师：很好，从数的角度我们有两种策略，那么形的角度呢？你认为周期函数的图像具有什么特征？生：应该也不断重复。师：非常好。你能不能根据图2中函数f(x)=cos2x的图像求出它的周期？图2生：只需看间隔多久即可，应该是π。师：太棒了，这说明我们还可以利用图像求出函数的周期。6.课堂小结师：请你用几个关键词谈谈本节课的收获？生1：周期函数、最小正周期。生2：如何求函数的周期。师：大家说的都非常好，老师也总结了几个关键词概括“定义、公式、思想、方法”，请大家认真体会。下课。二、执教感悟笔者认为我们教学的对象是学生，因此数学概念课应从学生的需要出发，创设学生需要的概念课堂。1.给学生需要的概念引入概念引入的目的是让学生觉得数学概念不是凭空产生的，它来源于现实生活，具有广泛性，我们有研究概念的必要性。因此在教学设计时，要从学生的实际出发，选择符合学生熟悉的实例（或旧知）引入，从实例中提炼概念，让学生自然的接受概念，意识到研究概念的必要性。本节课选择日出引入，其实也可以选择课程表、钟表等其他实例引入，给学生需要的概念引入。2.给学生需要的概念生成学生需要什么样的概念生成？这就回归到另一个问题，我们的概念课为什么需要概念生成这一环节？概念生成的目的是通过概念生成过程培养学生能力的发展。因此笔者认为概念生成应由学生自主完成，如果是自然式生成，需要大量的时间投入，这是我们课堂不允许的，那么我们可以通过教学设计，让学生在我们预设下自主生成、发展。我们在教学设计中要依据认知的需要，从特殊到一般，从具体到抽象，层层深入，设计问题。通过问题串逐步推进学生思维的发展，让学生在自然而然学习中完成概念生成。3.给学生需要的概念理解过程数学概念是高度概括的，往往具有一定的抽象性。因此数学概念课应给学生需要的概念理解过程。那么学生需要什么样的概念理解过程？笔者认为采用什么方式很重要，这一环节我们可以设计一些小题，用小题带概念，强化概念。我们的小题应基于概念，可以是概念辨析，也可以概念运用，通过小题逐字逐句敲打概念，让学生自然而然的理解概念。4.给学生需要的概念学习方法及数学思想与知识相比，概念学习的方法更重要。因此数学概念课堂还因给学生需要的概念学习方法。让学生领悟从特殊到一般的归纳推理、特殊到特殊的类比推理、从一般到特殊的演绎推理；掌握独立思考、自主探究，不断反思、归纳、概括，大胆表述的学习方式；同伴互助、小组交流的合作研究模式。本课中对函数奇偶性的回顾，目的就是让学生将奇偶性和周期性类比学习，加深对概念的理解。数学概念的学习要注重方法的养成，数学思想的渗透。5.给学生需要的数学知识我们的数学课堂时间有限，学生的认知水平，决定了对某些数学知识只能搁置，而给学生需要的数学知识。鉴于高中数学对函数周期性的要求，主要围绕三角函数的周期性展开，因此本节课中对周期函数的定义的拓展，周期函数的某些性质没有过多深入。总之，我们的概念课堂要从学生的实际需要出发，给学生于自然的概念引入，自由的概念生成，自主的概念探究，自在的学习过程，这正是李善良老师所强调的“教自然的数学，建自由的课堂”。三、名师观察在评课过程中，省数学教研员李善良博士及特级教师石鑫等作了点评，现摘录部分如下：1.概念的引入自然一节课的引入做的好不好，往往决定一节课的成败。作为是概念课的引入应当解决几个问题，学什么？为什么学？怎么让学生自然的学？本节课利用日出这一自然现象引入，贴近学生的生活实际，结合两学生的对话，引导学生对日出这一自然现象的规律的探究，结合课前音乐《花心》，进一步让学生感受周期现象的广泛性，激发学生研究周期的欲望，比较完善解决了概念引入的三个问题。2.概念生成过程自然概念生成过程是学生能力提升的过程，也是培养学生学习兴趣的过程。这一过程要舍得，要流畅。本节课在这块做足文章，通过问题链，从三角函数线到正弦函数的周期，拓展到三角函数的周期，再延伸到一般函数的周期定义，再从周期函数的定义到最小正周期的概念，层层深入，逐步推进学生思维的发展，学生在不知不觉中完成了概念生成，过程自然流畅。3.概念理解过程自然概念理解过程是进一步认识概念的环节，可以采用让学生研读概念和做题两种方式，本节课处理这一问题的方式是小题强化。通过几个小题，辨析、强化周期函数的定义中“非零常数T”“定义域内的每一个自变量x”“ 恒等式f(x+T)=f(x)”。最小正周期概念“如果…,那么…”。逐字逐句敲打概念，让学生自然的理解概念，起到很好的效果。4.自然的教会学生如何探究概念方法比知识更重要，所以数学课堂应该教会学生方法。本节课中周期函数的定义、难点的突破均采用小组探究，学生自主概括，其他同学不断发展、完善的方式，这是数学探究的基本策略；将“函数的奇偶性”和“函数的周期性”进行类比，注重知识之间的联系，迁移学习；课堂小结由学生归纳，这样做有助于培养学生总结、反思的好习惯。不仅仅给予学生知识，还自然的给予学生学习概念的方式方法。
2022-04-19 17:52:58