2015年安徽高考数学理科18题第(Ⅱ)问解法探究

安徽省宣城中学(242000)项卫华题目设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标。（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）记Tn=x21x23…x22n－1，证明Tn≥14n。本题综合考查了函数导数、数列、数列不等式的证明，入口较宽，解法多样。笔者对第（Ⅱ）小题进行了探究，得到如下几种证法，供读者参考。由（Ⅰ）可知，xn=nn+1，Tn=x21x23…x22n－1=(12)2(34)2…(2n－12n)2。证法1：当n=1时，T1=14。当n≥2时，因为x22n－1=(2n－12n)2=(2n－1)2(2n)2 (2n－1)2－1(2n)2=2n－22n=n－1n，所以Tn (12)2×12×23×…×n－1n=14n。综上可得Tn≥14n。证法2：当n=1时，T1=14。当n≥2时，x22n－1=(2n－12n)2=(2n－2+2n2)2(2n)2 ［2n(2n－2)］2(2n)2=2n－22n=n－1n。以下同证法1。证法3:（数学归纳法）①当n=1时，T1=14，显然不等式成立。②假设n=k(k≥1）时，不等式成立，即Tk≥14k，则Tk+1=(12)2(34)2…(2k-12k)2(2k+12k+2)2≥14k×(2k+12k+2)2=(2k+1)24k(k+1)×14(k+1)=4k2+4k+14k2+4k×14(k+1) 14(k+1),所以当n=k+1时，不等式也成立。综上①②可知，Tn≥14n。证法4:令An=(12)2(34)2…(2n－12n)2×4n，则An+1An=(12)2(34)2…(2n+12n+2)2×4(n+1)(12)2(34)2…(2n－12n)2×4n=(2n+12n+2)2×n+1n=(2n+1)24n(n+1)=4n2+4n+14n2+4n 1,所以数列{An}是单调递增数列，故An≥A1=1，即Tn≥14n成立。证法5:当n=1时，T1=14。当n≥2时，因为2n－12n 2n－22n－1，所以(2n－12n)2 2n－22n－1×2n－12n，则Tn=(12)2(34)2…(2n－12n)2 14×(23·34)×(45·56)×…×(2n－22n－1·2n－12n)=14n。综上可得Tn≥14n。最后，希望读者参照以上证法对“n+1 (32)2(54)2…(2n+12n)2 2n+1”给予论证，以期对类似问题有所感悟。
2022-04-19 17:54:43