初等方法新解一道竞赛题

江苏省江阴长泾中学（214411）陈小莹江苏省姜堰中等专业学校（225500）陈宇赛题已知a,b,c为直角三角形的三边长，其中c为斜边长，求使a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值（第四届北方数学邀请赛试题）。由文\[1\]知，文\[2\]“利用导数的知识给出了两种证明方法，指出不能用均值不等式和幂平均不等式求a3+b3+c3abc的最小值。”文\[1\]作者以均值不等式求出了a3+b3+c3abc的最小值。经过探求，笔者发现，主要借助三角及函数的单调性和最值，可以给出该题又一新的初等解法。且求解过程同样简洁。解:由题设可知，A+B=90°。a=csinA,b=csinB，sin2A+sin2B=1。不妨设0° B≤45°≤A 90°,则0°≤A－B2 45°。则a3+b3+c3abc=sin3A+sin3B+1sinAsinB=(sinA+sinB)(sin2A+sin2B－sinAsinB)+1sinAsinB=2sinA+B2cosA－B2{1+12［cos(A+B)－cos(A－B)］}+1－12［cos(A+B)－cos(A－B)］=2cosA－B2［2－cos(A－B)］+2cos(A－B)=2cosA－B2(3－2cos2A－B2)+22cos2A－B2－1=－2cos2A－B2+2cosA－B2+22cosA－B2－1≥k（1）。以下给出两种解法法一:设x=A－B2，（0°≤x 45°）构造函数f(x)=－2cos2A－B2+2cosA－B2+22cosA－B2－1=22cosx－1－2cosx（0°≤x 45°）,设0°≤x1 x2 45°，则22 cosx2 cosx1≤1?0 2cosx2－1 2cosx1－1≤2－1,f(x1)－f(x2)=22cosx1－1－2cosx1－(22cosx2－1－2cosx2)=2(cosx2－cosx1)+22(cosx2－cosx1)(2cosx1－1)(2cosx2－1) 0,∴当0°≤x 45°时，函数f(x)=22cosx－1－2cosx单调增加。∴f(x)min=f(0)=22－1－2=2+2≥k。当且仅当x=0即A=B=45°,即直角三角形为等腰直角三角形时，k的最大值为k=2+2。此时等号成立。法二:由（1）去分母整理得2cos2A－B2－2(1－k)cosA－B2≤2+k（2）（去分母依据条件见法一）,配方得(2cosA－B2－1－k2)2≤k2+2k+94。（先固定变量k）（3）,当0°≤A－B2 45°时，如法一可得1+k2 2cosA－B2－1－k2≤22－1+k2,可见(2cosA－B2－1－k2)2的最大值为(1+k2)2或(22－1+k2)2。要使（3）成立，只需（Ⅰ）（1+k2)2 (22－1+k2)2（1+k2)2≤k2+2k+94或（Ⅱ）(1+k2)2＜(22－1+k2)2,(22-1+k2)2≤k2+2k+92成立,分别解之得k －2或－2 k≤2+2。综上可得k≤2+2。可知k的最大值为k=2+2。又当k=2+2时，(22－1+k2)2≤k2+2k+94等号成立。从而（3）左边取得最大值，且等号成立。即有(2cosA－B2－1－k2)2=k2+2k+94，取k=2+2,可化为2cos2A－B2+(2+2)cosA－B2－(4+2)=0,解之得cosA－B2=1,即A=B=45°或cosA－B2=－2+22 －1 22舍去。∴当且仅当A=B=45°,即直角三角形为等腰直角三角形时等号成立。此时，k的最大值为k=2+2。显然法一较之法二显得简便。但法二作为一种方法不无可取之处。本文之解法所涉及知识及方法（完全区别于文\[1\]），全是普通高中基础知识（含选修），思路也无特别之处，一般高中生完全可以看懂。参考文献\[1\]马占山,王瑞琴。一道竞赛题的初等证法\[J\]。中学数学研究（江西）2013,12（P50）。\[2\]王远征。一道数学竞赛题的错误解答及订正\[J\]。数学通讯2011（上半月）（11,12）。
2022-04-19 17:55:15