圆系方程问题再探讨

江苏省丹阳高级中学（212300）史建军1.问题背景文\[1\]及文\[2\]讨论了⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0及⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0无公共点时，方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0的意义，但均没有指明方程表示何种曲线。本文试图通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0及x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0的分析，从而阐明：当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2相交（以下简称“相交圆系”）时，上述方程一定表示圆；当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2不相交（以下简称“非相交圆系”）时，上述方程可能表示何种曲线。2.探究一：“相交圆系”方程一定表示圆吗？定理1若直线l:Ax+By+C=0和⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，则经过两交点的圆系方程：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0一定表示圆。证明:∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0,∴(x+D+λA2)2+(y+E+λB2)2=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC)4,判断上式是否表示圆，只需验证T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC) 0是否成立，∵⊙M与直线l相交，故有－AD2－BE2+CA2+B2 D2+E2－4F2,化简得(A2+B2)(D2+E2－4F) |AD+BE－2C|,∴(AD+BE－2C)2 (A2+B2)(D2+E2－4F),∵T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC)=D2+E2－4F+2λ(DA+BE－2C)+λ2(A2+B2),∵直线l为定直线，⊙M为定圆，∴A,B,C,D,E,F均为常数，∴T=f(λ)可视为关于λ的二次函数,Δ=4\[(DA+BE－2C)2－(A2+B2)(D2+E2－4F)\] 0,∴T=f(λ) 0恒成立，又圆心坐标满足：－E+λB2+E2－D+λA2+D2·(－AB)=－1,∴x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示圆心在过M且与直线l垂直的直线上的圆。定理2若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则经过两交点的圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)一定表示圆。证明：∵x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x+(E1+λE2)y+F1+λF2=0,∴x2+y2+D1+λD21+λx+E1+λE21+λy+F1+λF21+λ=0,∴x+D1+λD22(1+λ)2+y+E1+λE22(1+λ)2=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)4(1+λ)2,判断上式是否表示圆，只需验证：T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2) 0是否成立，∵⊙C1与⊙C2相交，∴|O1O2| r1+r2，∴D21+E21－4F12+D22+E22－4F22 (D12－D22)2+(E12－E22)2,平方得D21+E21－4F1·D22+E22－4F2 2F1+2F2－D1D2－E1E2。又∵|O1O2| |r1－r2|，故有∴D21+E21－4F12－D22+E22－4F22 (D12－D22)2+(E12－E22)2,平方得－D21+E21－4F1·D22+E22－4F2 2F1+2F2－D1D2－E1E2,∴|2F1+2F2－D1D2－E1E2| D21+E21－4F1·D22+E22－4F2。∴T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)=(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2)+2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2)。∵⊙C1和⊙C2为定圆，故在上式中因D1,E1,F1,D2,E2,F2均为常数，∴T=f(λ)可视为关于λ的二次函数,∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\] 0,∴T=f(λ) 0恒成立，又圆心坐标为(－D1+λD22(1+λ),－E1+λE22(1+λ))，即(－D12+λ(－D22)1+λ,－E12+λ(－E22)1+λ)。故方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0表示圆心在直线C1C2上的圆。3。探究二：“非相交圆系”方程可能表示圆吗？3。1直线和圆不相交定理3若直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0相离，则方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0可能表示圆,点,或不表示任何图形。证明：∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0，∵直线l和⊙M相离,∴－AD2－BE2+CA2+B2 D2+E2－4F2，平方得(A2+B2)(D2+E2－4F) (AD+BE－2C)2,∵T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC)=(A2+B2)λ2+2λ(DA+BE－2C)+D2+E2－4F。∵A,B,C,D,E,F均为常数，∴T=0可视为关于λ的二次方程。Δ=4\[(DA+BE－2C)2－(A2+B2)(D2+E2－4F)\] 0∴λ1,2=－2(DA+BE－2C)±Δ2(A2+B2)。当λ=－2(DA+BE－2C)±Δ2(A2+B2)时，T=0，方程表示过M且与l垂直的直线上的点；当λ －2(DA+BE－2C)+Δ2(A2+B2)或λ －2(DA+BE－2C)－Δ2(A2+B2)时，T 0,方程表示圆心在过M且与l垂直的直线上的圆；当－2(DA+BE－2C)－Δ2(A2+B2) λ －2(DA+BE－2C)+Δ2(A2+B2)时，T 0,方程不表示任何图形。定理4若直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0相切，则方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ≠－1)可能表示圆或点。证明：∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0，∵直线l和⊙M相切,∴－AD2－BE2+CA2+B2=D2+E2－4F2，平方得(A2+B2)(D2+E2－4F)=(AD+BE－2C)2,∵T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC)=(A2+B2)λ2+2λ(DA+BE－2C)+D2+E2－4F。∵A,B,C,D,E,F均为常数，∴T=0可视为关于λ的二次方程。Δ=4\[(DA+BE－2C)2－(A2+B2)(D2+E2－4F)\]=0∴λ1=λ2=－DA+BE－2CA2+B2，当λ=－DA+BE－2CA2+B2时，T=0，方程表示直线l与⊙M的切点；当λ≠－DA+BE－2CA2+B2时，T 0，方程表示圆心在过M且与l垂直的直线上的圆。3.2两个圆不相交定理5若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相离，则方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)可能表示圆、点或不表示任何图形。证明：∵⊙C1和⊙C2相离，∴|C1C2| r1+r2，∴D21+E21－4F12+D22+E22－4F22 (D12－D22)2+(E12－E22)2,平方得D21+E21－4F1·D22+E22－4F2 2F1+2F2－D1D2－E1E2。∵x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x+(E1+λE2)y+F1+λF2=0,∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)=(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2)+2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2),∴T=0可视为关于λ的二次方程。∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\] 0,∴λ1,2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)。当λ=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)时，T=0，方程表示直线C1C2上的点；当λ －2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)或λ －2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2)时，T 0,方程表示圆心在直线C1C2上的圆；当－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2) λ －2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)时，T 0,方程不表示任何图形。定理6若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0外切，则方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)可能表示圆或点。证明：∵⊙C1和⊙C2外切，∴|C1C2|=r1+r2，∴D21+E21－4F12+D22+E22－4F22=(D12－D22)2+(E12－E22)2，平方得D21+E21－4F1·D22+E22－4F2=2F1+2F2－D1D2－E1E2。∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)=(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2)+2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2),∴T=0可视为关于λ的二次方程。∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]=0,∴λ1=λ2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2(D22+E22－4F2)=D21+E21－4F1D22+E22－4F2。当λ=D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T=0，方程表示两圆的切点；当λ≠D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T 0，方程表示圆心在直线C1C2上且过两圆切点的圆。定理7若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0内切，则方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)可能表示圆或点。证明：∵⊙C1和⊙C2内切，∴|C1C2|=|r1－r2|，∴D21+E21－4F12－D22+E22－4F22=(D12－D22)2+(E12－E22)2，平方得－D21+E21－4F1·D22+E22－4F2=2F1+2F2－D1D2－E1E2。∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)=(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2)+2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2)。∴T=0可视为关于λ的二次方程。∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]=0,∴λ1=λ2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2(D22+E22－4F2)=－D21+E21－4F1D22+E22－4F2。当λ=－D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T=0，方程表示两圆的切点；当λ≠－D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T 0，方程表示圆心在直线C1C2上且过两圆切点的圆。定理8若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0内含，则方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)可能表示圆,点,或不表示任何图形。证明：∵⊙C1和⊙C2内切，∴|C1C2| |r1－r2|，∴D21+E21－4F12－D22+E22－4F22 (D12－D22)2+(E12－E22)2，平方得D21+E21－4F1·D22+E22－4F2 D1D2+E1E2－2F1－2F2。∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)=(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2)+2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2),∴T=0可视为关于λ的二次方程。∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\] 0,∴λ1,2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)。当λ=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)时，T=0，方程表示直线C1C2上的点；当λ －2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)或λ －2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2)时，T 0,方程表示圆心在直线C1C2上的圆；当－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2) λ －2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)时，T 0,方程不表示任何图形。4.探究三：圆系方程中的圆有何共同特点？定理9已知直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0，若方程：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示圆（记作⊙N），则⊙N与⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0有共同的根轴Ax+By+C=0。证明：∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0。∵A,B不同时为0，故⊙N与⊙M为非同心圆，∴⊙N与⊙M的根轴方程为：\[x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)\]－\[x2+y2+Dx+Ey+F\]=0，即Ax+By+C=0。定理10已知⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)表示圆(记作⊙N)，则⊙N与⊙C1,⊙C2均有共同的根轴(D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0。证明：∵x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x+(E1+λE2)y+F1+λF2=0,∴x2+y2+D1+λD21+λx+E1+λE21+λy+F1+λF21+λ=0。与⊙C1的根轴方程为(D1+λD21+λ－D1)x+(E1+λE21+λ－E1)y+F1+λF21+λ－F1=0,化简即得(D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0。同理可证与⊙C2有共同的根轴。参考文献\[1\]刘薇，陆丽滨。两圆无交点，圆系为何意。中学教研\[J\]。2010,1。\[2\]姚华鹏。解析交点圆系方程的几何意义。中学教研\[J\]。2011,4。
2022-04-19 17:55:30