一个关于椭圆切线的猜想的否定之辨析

b>0)短轴（长轴）的两个端点，P为椭圆上任意一点（不与A,B重合），直线PA,PB交长轴（短轴）所在直线于C,D "/>
江苏省兴化市周庄高级中学(225711)陆恒江文\[1\]给出了如下定理：图1定理1若A,B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)短轴（长轴）的两个端点，P为椭圆上任意一点（不与A,B重合），直线PA,PB交长轴（短轴）所在直线于C,D两点，则椭圆在点P处的切线平分线段CD。（如图1）针对定理1文\[2\]提出如下猜想：猜想若A,B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)一直径的两端，P为椭圆上任意一点（不与A,B重合），直线PA,PB与AB的共轭直径所在直线分别交于C,D，则椭圆在点P处的切线平分线段CD。文\[3\]否定了上述猜想，并给出了如下修正：定理2若A,B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)一直径的两端，P为椭圆上任意一点（不与A,B重合），直线PA,PB与AB的共轭直径所在直线分别交于C,D。记A(x1,y1),P(x2,y2)。（1）若A为椭圆的四个端点之一，则椭圆在点P处的切线平分线段CD。（2）若x21+x22=a2,x1≠±a或y1≠±b，且椭圆在点P处的切线不平行于AB时，则椭圆在点P处的切线//CD。（3）若x21+x22=a2,x1≠±a或y1≠±b，且椭圆在点P处的切线平行于AB时，则椭圆在点P处的切线不平分线段CD。（4）若x21+x22≠a2,x1≠±a或y1≠±b，且x1≠±22a时，则椭圆在点P处的切线不平分线段CD。（5）若x21+x22≠a2,x1≠±a或y1≠±b，且x1=±22a时，则椭圆在点P处的切线平分线段CD。事实上猜想是正确的，而定理2中的（2）、（3）、（4）不正确，原因是定理2的证明过程中误将椭圆的共轭直径理解为斜率互为相反数，实际应该是斜率之积为－b2a2，下面给出猜想的证明。证明：设P(acosθ,bsinθ),A(acosα,bsinα)（α≠kπ,k∈Z，α=kπ,k∈Z时参见定理１），则B(－acosα,－bsinα)，AB的共轭直径所在的直线方程为y=－bcosαasinαx，直线PA的方程是y－bsinθ=bsinθ－bsinαacosθ－acosα(x－acosθ)，联立y－bsinθ=bsinθ－bsinαacosθ－acosα(x－acosθ)，y=－bcosαasinαx解得点C的横坐标是asin(θ－α)sinαcos(θ－α)－1，同理可得点D的横坐标是－asin(θ－α)sinαcos(θ－α)+1，又椭圆在点P处的切线方程是cosθxa+sinθyb=1，由cosθxa+sinθyb=1，y=－bcosαasinαx解得点P处的切线与直线CD交点横坐标为－asinαsin(θ－α)，因为asin(θ－α)sinαcos(θ－α)－1－asin(θ－α)sinαcos(θ－α)+1=2asin(θ－α)sinαcos2(θ－α)－1=－2asinαsin(θ－α)，所以椭圆在点P处的切线平分线段CD。参考文献\[1\]徐文春。关于有心圆锥曲线切线的一组性质\[J\]。数学通讯,2012(12)（下半月）。\[2\]曾建国。有心圆锥曲线切线的一个性质的推广\[J\]。数学通讯,2013(5)（下半月）。\[3\]杨志明。一个关于椭圆切线的猜想的否定与修正\[J\]。数学通讯,2013(10)（下半月）。
2022-04-19 17:52:31